Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ в виде уравнения.

$y = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = x$ .

$\frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 3 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{{(y + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3} = 3 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

${(y + 7)}^{\frac{1}{3}} = 3 x$

Этап 3.4

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(3 x)}^{3}$

Этап 3.5

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим ${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Этап 3.5.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Этап 3.5.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 7)}^{1} = {(3 x)}^{3}$

Этап 3.5.1.1.2

Упростим.

$y + 7 = {(3 x)}^{3}$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим ${(3 x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x$ .

$y + 7 = 3^{3} x^{3}$

Этап 3.5.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$y + 7 = 27 x^{3}$

Этап 3.6

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$y = 27 x^{3} - 7$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$ обратной к $f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 {(\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3})}^{3} - 7$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило умножения к $\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{{({(x + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}}) - 7$

Этап 5.2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) - 7$

Этап 5.2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) - 7$

Этап 5.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{3^{3}}) - 7$

Этап 5.2.3.2.2

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{3^{3}}) - 7$

Этап 5.2.3.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{27}) - 7$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x + 7}{27}) - 7$

Этап 5.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = x + 7 - 7$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 7 - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $7$ из $7$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (27 x^{3} - 7)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{((27 x^{3} - 7) + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим противоположные члены в $27 x^{3} - 7 + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Добавим $- 7$ и $7$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{(27 x^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 5.3.3.1.2

Добавим $27 x^{3}$ и $0$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{(27 x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 5.3.3.2

Применим правило умножения к $27 x^{3}$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{27^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 5.3.3.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 5.3.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 5.3.3.6

Найдем экспоненту.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Этап 5.3.3.7

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Этап 5.3.3.7.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.2.1

Сократим общий множитель.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Этап 5.3.3.7.2.2

Перепишем это выражение.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.3.3.8

Упростим.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (27 x^{3} - 7) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (27 x^{3} - 7) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$ — обратная к $f (x) = \frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} - 7$