Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{- 3 x^{7}}{4 x^{4}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{- 3 x^{7}}{4 x^{4}}$ не определено.

$x = 0$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 7$

$m = 4$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель $x^{7}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $- 3 x^{7}$ .

$\frac{x^{4} (- 3 x^{3})}{4 x^{4}}$

Этап 6.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $4 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} (- 3 x^{3})}{x^{4} \cdot 4}$

Этап 6.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} (- 3 x^{3})}{x^{4} \cdot 4}$

Этап 6.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 x^{3}}{4}$

Этап 6.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 x^{3}}{4}$

Этап 6.2

Начнем развертывание.

$\frac{- 3 x^{3}}{4}$

Этап 6.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$4$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 6.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $4$ .

		-	$\frac{3 x^{3}}{4}$
	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 6.5

Умножим новое частное на делитель.

	-	$\frac{3 x^{3}}{4}$
$4$	-	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	-	$3 x^{3}$

Этап 6.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{3}$ .

	-	$\frac{3 x^{3}}{4}$
$4$	-	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	+	$3 x^{3}$

Этап 6.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

	-	$\frac{3 x^{3}}{4}$
$4$	-	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	+	$3 x^{3}$
		$0$

Этап 6.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

	-	$\frac{3 x^{3}}{4}$
$4$	-	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	+	$3 x^{3}$
		$0$	+	$0 x^{2}$

Этап 6.9

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- \frac{3 x^{3}}{4}$

Этап 6.10

Так как при делении многочленов нет полиномиальной части, наклонные асимптоты отсутствуют.

Нет наклонных асимптот

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Этап 8