Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ в виде уравнения.

$y = \frac{2 x}{4 - 3 x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{2 y}{4 - 3 y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ .

$\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 - 3 y, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$4 - 3 y, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$4 - 3 y$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ умножим на $4 - 3 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ на $4 - 3 y$ .

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $4 - 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 y = x (4 - 3 y)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y = x \cdot 4 + x (- 3 y)$

Этап 3.3.3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$2 y = 4 \cdot x + x (- 3 y)$

Этап 3.3.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y = 4 x - 3 x y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $3 x y$ к обеим частям уравнения.

$2 y + 3 x y = 4 x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y + 3 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$y \cdot 2 + 3 x y = 4 x$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $3 x y$ .

$y \cdot 2 + y (3 x) = 4 x$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 2 + y (3 x)$ .

$y (2 + 3 x) = 4 x$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y (2 + 3 x) = 4 x$ на $2 + 3 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y (2 + 3 x) = 4 x$ на $2 + 3 x$ .

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $2 + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ обратной к $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{4 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

Этап 5.2.3

Объединим $4$ и $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $3 \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Объединим $3$ и $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{3 (2 x)}{4 - 3 x}}$

Этап 5.2.4.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

Этап 5.2.4.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x)}{4 - 3 x} + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

Этап 5.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}}$

Этап 5.2.4.4

Перепишем $\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 - 3 x) + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)}{4 - 3 x}}$

Этап 5.2.4.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x + 3 x)}{4 - 3 x}}$

Этап 5.2.4.4.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 + 0)}{4 - 3 x}}$

Этап 5.2.4.4.3

Добавим $4$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 \cdot 4}{4 - 3 x}}$

Этап 5.2.4.5

Умножим $2$ на $4$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

Этап 5.2.5

Умножим $4$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

Этап 5.2.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 (x)}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Этап 5.2.7.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Этап 5.2.7.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $4 - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

Этап 5.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{4 x}{2 + 3 x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{2 (\frac{4 x}{2 + 3 x})}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

Этап 5.3.3

Объединим $2$ и $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Умножим $- 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Объединим $- 3$ и $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 3 (4 x)}{2 + 3 x}}$

Этап 5.3.4.1.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 12 x}{2 + 3 x}}$

Этап 5.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

Этап 5.3.4.3

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 + 3 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

Этап 5.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}}$

Этап 5.3.4.5

Перепишем $\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 + 3 x) - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)}{2 + 3 x}}$

Этап 5.3.4.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x - 3 x)}{2 + 3 x}}$

Этап 5.3.4.5.2

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 0)}{2 + 3 x}}$

Этап 5.3.4.5.3

Добавим $2$ и $0$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 \cdot 2}{2 + 3 x}}$

Этап 5.3.4.6

Умножим $4$ на $2$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

Этап 5.3.5

Умножим $2$ на $4$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

Этап 5.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 (x)}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Этап 5.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Этап 5.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $2 + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

Этап 5.3.8.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ — обратная к $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$