Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ в виде уравнения.

$y = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим ${(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[7]{y}}{7}$ .

$x = \frac{{\sqrt[7]{y}}^{3}}{7^{3}}$

Этап 3.1.2

Перепишем ${\sqrt[7]{y}}^{3}$ в виде $\sqrt[7]{y^{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{7^{3}}$

Этап 3.1.3

Возведем $7$ в степень $3$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343}$

Этап 3.2

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$ .

$\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$

Этап 3.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{y^{3}}$ в виде $y^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = x$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $343$ .

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

Этап 3.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель $343$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Сократим общий множитель.

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

Этап 3.5.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{3}{7}} = 343 x$

Этап 3.6

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{7}{3}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Этап 3.7

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Упростим ${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Этап 3.7.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Этап 3.7.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Этап 3.7.1.1.1.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Этап 3.7.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Этап 3.7.1.1.2

Упростим.

$y = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Этап 3.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Упростим ${(343 x)}^{\frac{7}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $343 x$ .

$y = 343^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

Этап 3.7.2.1.1.2

Перепишем $343$ в виде $7^{3}$ .

$y = {(7^{3})}^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

Этап 3.7.2.1.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

Этап 3.7.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

Этап 3.7.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = 7^{7} x^{\frac{7}{3}}$

Этап 3.7.2.1.3

Возведем $7$ в степень $7$ .

$y = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ обратной к $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$

Этап 5.2.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{7}$

Этап 5.2.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[7]{x}}{7}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{7^{7}})$

Этап 5.2.4

Перепишем ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{7^{7}})$

Этап 5.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{7^{7}})$

Этап 5.2.4.3

Объединим $\frac{1}{7}$ и $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

Этап 5.2.4.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

Этап 5.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

Этап 5.2.4.5

Упростим.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

Этап 5.2.5

Возведем $7$ в степень $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $823543$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

Этап 5.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (823543 x^{\frac{7}{3}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{823543 x^{\frac{7}{3}}}}{7})}^{3}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем $823543 x^{\frac{7}{3}}$ в виде ${(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}}}{7})}^{3}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

Этап 5.3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

Этап 5.3.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Разделим $x^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 5.3.4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 5.3.4.2.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 5.3.4.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ — обратная к $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$