Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 - x \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 1$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x \leq 1$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$4 x - 2 x^{2} \geq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 x - 2 x^{2} = 0$

Этап 4.2

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x - 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x$ .

$2 x (2) - 2 x^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{2}$ .

$2 x (2) + 2 x (- x) = 0$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (2) + 2 x (- x)$ .

$2 x (2 - x) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.5

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 4.5.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (2 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 4.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Этап 4.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 4.8.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$4 (- 2) - 2 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Этап 4.8.1.3

Левая часть $- 16$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.8.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 4.8.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$4 (1) - 2 {(1)}^{2} \geq 0$

Этап 4.8.2.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.8.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 4.8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$4 (4) - 2 {(4)}^{2} \geq 0$

Этап 4.8.3.3

Левая часть $- 16$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 4.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x \leq 2$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{4 x - 2 x^{2}} = 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ в виде ${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим ${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 x - 2 x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим.

$4 x - 2 x^{2} = 0^{2}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x - 2 x^{2} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$4 u - 2 u^{2} = 0$

Этап 6.3.1.2

Вынесем множитель $2 u$ из $4 u - 2 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Вынесем множитель $2 u$ из $4 u$ .

$2 u (2) - 2 u^{2} = 0$

Этап 6.3.1.2.2

Вынесем множитель $2 u$ из $- 2 u^{2}$ .

$2 u (2) + 2 u (- u) = 0$

Этап 6.3.1.2.3

Вынесем множитель $2 u$ из $2 u (2) + 2 u (- u)$ .

$2 u (2 - u) = 0$

Этап 6.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$2 x (2 - x) = 0$

Этап 6.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Этап 6.3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.3.4

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 6.3.4.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 6.3.4.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.3.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 6.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (2 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, 1]$

Обозначение построения множества:

${x | 0 < x \leq 1}$

Этап 8