Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x^{6} + 2}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{2 x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x^{6} + 2}}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x^{6} + 2}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3} = \sqrt{x^{6}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}}$

Этап 3.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}}$

Этап 3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Этап 3.2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Этап 3.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Этап 3.2.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Этап 3.3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Этап 3.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Этап 3.5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Этап 3.6

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Этап 3.7

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Этап 3.8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{6}}}}$

Этап 3.8.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}}$

Этап 3.8.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}}$

Этап 3.8.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}}$

Этап 3.9

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{6}}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Этап 3.10.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0 + 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Этап 3.10.1.3

Умножим $7$ на $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Этап 3.10.1.4

Добавим $0 + 0$ и $0$ .

$\frac{0 + 0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Этап 3.10.1.5

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Этап 3.10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1 + 0}}$

Этап 3.10.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{1}}$

Этап 3.10.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 3.10.3

Разделим $0$ на $1$ .

$0$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 0$

Этап 5

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 7