Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{1 - \frac{5}{x}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 - \frac{5}{x}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 - \frac{5}{x} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- \frac{5}{x} \geq - 1$

Этап 2.2

Умножим обе части на $x$ .

$- \frac{5}{x} x = - x$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{x}$ в числитель.

$\frac{- 5}{x} x = - x$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5}{x} x = - x$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- 5 = - x$

Этап 2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем уравнение в виде $- x = - 5$ .

$- x = - 5$

Этап 2.4.2

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x = 5$

Этап 2.5

Найдем область определения $1 - \frac{5}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Зададим знаменатель в $\frac{5}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 2.5.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 2.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Этап 2.7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$1 - \frac{5}{- 2} \geq 0$

Этап 2.7.1.3

Левая часть $3.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.7.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$1 - \frac{5}{2} \geq 0$

Этап 2.7.2.3

Левая часть $- 1.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.7.3

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 2.7.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$1 - \frac{5}{8} \geq 0$

Этап 2.7.3.3

Левая часть $0.375$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

Этап 2.8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $x \geq 5$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{5}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup [5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < 0, x \geq 5}$

Этап 5