Основы мат. анализа Примеры

$- 12 - 4 - \frac{4}{3} - \dots - \frac{4}{243}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $\frac{1}{3}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = \frac{1}{3}$

Этап 2

Используем формулу геометрической прогрессии $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ , чтобы найти количество членов $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значения первого члена, последнего члена и отношения между членами геометрической прогрессии в формулу.

$\frac{4}{243} = 12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Этап 2.2

Решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ .

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ на $12$ .

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Этап 2.2.2.2.1.2

Разделим ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ на $1$ .

${(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Этап 2.2.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Этап 2.2.2.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Этап 2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{12}$

Этап 2.2.2.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 (3)}$

Этап 2.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 \cdot 3}$

Этап 2.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 2.2.2.3.3

Умножим $\frac{1}{243}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243 \cdot 3}$

Этап 2.2.2.3.4

Умножим $243$ на $3$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{729}$

Этап 2.2.3

Умножим обе части на $3^{n - 1}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Сократим общий множитель $3^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Этап 2.2.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Этап 2.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Объединим $\frac{1}{729}$ и $3^{n - 1}$ .

$1 = \frac{3^{n - 1}}{729}$

Этап 2.2.5

Решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$ .

$\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$

Этап 2.2.5.2

Умножим обе части уравнения на $729$ .

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

Этап 2.2.5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.1

Сократим общий множитель $729$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

Этап 2.2.5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3^{n - 1} = 729 \cdot 1$

Этап 2.2.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.2.1

Умножим $729$ на $1$ .

$3^{n - 1} = 729$

Этап 2.2.5.4

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{n - 1} = 3^{6}$

Этап 2.2.5.5

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$n - 1 = 6$

Этап 2.2.5.6

Перенесем все члены без $n$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.6.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$n = 6 + 1$

Этап 2.2.5.6.2

Добавим $6$ и $1$ .

$n = 7$

Этап 3

Используем формулу суммы геометрической прогрессии $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ , чтобы найти сумму.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значения первого члена, отношения между членами геометрической прогрессии и их количество в формулу суммы.

$S_{n} = \frac{- 12 ({(\frac{1}{3})}^{7} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1^{7}}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.3

Возведем $3$ в степень $7$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1 \cdot \frac{2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} + \frac{- 1 \cdot 2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 1 \cdot 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2187$ .

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.7.2

Вычтем $2187$ из $1$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{- 2186}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{n} = \frac{- 12 \cdot - 1 \frac{2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.9

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$S_{n} = \frac{- (- 12 (\frac{2186}{2187}))}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.9.2

Объединим $- 12$ и $\frac{2186}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 12 \cdot 2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.9.3

Умножим $- 12$ на $2186$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 26232}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.10

Сократим общий множитель $- 26232$ и $2187$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.1

Вынесем множитель $3$ из $- 26232$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{3 (- 8744)}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $2187$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.10.2.2

Сократим общий множитель.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.10.2.3

Перепишем это выражение.

$S_{n} = \frac{- \frac{- 8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{n} = \frac{- - 1 \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.12

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.12.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$S_{n} = \frac{- - \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.12.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$S_{n} = \frac{1 (\frac{8744}{729})}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.1.12.3

Умножим $\frac{8744}{729}$ на $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.2.2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Этап 3.2.2.4.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{- 2}{3}}$

Этап 3.2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{- \frac{2}{3}}$

Этап 3.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$S_{n} = \frac{8744}{729} (- \frac{3}{2})$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$S_{n} = \frac{8744}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Этап 3.2.4.2

Вынесем множитель $2$ из $8744$ .

$S_{n} = \frac{2 (4372)}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Этап 3.2.4.3

Сократим общий множитель.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 4372}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Этап 3.2.4.4

Перепишем это выражение.

$S_{n} = \frac{4372}{729} \cdot - 3$

Этап 3.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $729$ .

$S_{n} = \frac{4372}{3 (243)} \cdot - 3$

Этап 3.2.5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 3.2.5.3

Сократим общий множитель.

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 3.2.5.4

Перепишем это выражение.

$S_{n} = \frac{4372}{243} \cdot - 1$

Этап 3.2.6

Объединим $\frac{4372}{243}$ и $- 1$ .

$S_{n} = \frac{4372 \cdot - 1}{243}$

Этап 3.2.7

Умножим $4372$ на $- 1$ .

$S_{n} = \frac{- 4372}{243}$

Этап 3.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{n} = - \frac{4372}{243}$