Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ в виде уравнения.

$y = 5 {(x - 5)}^{7}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 5 {(y - 5)}^{7}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $5 {(y - 5)}^{7} = x$ .

$5 {(y - 5)}^{7} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $5 {(y - 5)}^{7} = x$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $5 {(y - 5)}^{7} = x$ на $5$ .

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим ${(y - 5)}^{7}$ на $1$ .

${(y - 5)}^{7} = \frac{x}{5}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y - 5 = \sqrt[7]{\frac{x}{5}}$

Этап 3.4

Перепишем $\sqrt[7]{\frac{x}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ .

$y - 5 = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$

Этап 3.5

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ обратной к $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \frac{\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим $\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}$ и $\sqrt[7]{5}$ под одним знаком корня.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

Этап 5.2.3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим выражение $\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

Этап 5.2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{{(x - 5)}^{7}}{1}} + 5$

Этап 5.2.3.2.2

Разделим ${(x - 5)}^{7}$ на $1$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 5)}^{7}} + 5$

Этап 5.2.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x - 5 + 5$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 5 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {((\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5)}^{7}$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 0)}^{7}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}})}^{7}$

Этап 5.3.4

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Этап 5.3.5

Перепишем ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Этап 5.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Этап 5.3.5.3

Объединим $\frac{1}{7}$ и $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Этап 5.3.5.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Этап 5.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Этап 5.3.5.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Этап 5.3.6

Перепишем ${\sqrt[7]{5}}^{7}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{5}$ в виде $5^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{(5^{\frac{1}{7}})}^{7}})$

Этап 5.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{1}{7} \cdot 7}})$

Этап 5.3.6.3

Объединим $\frac{1}{7}$ и $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

Этап 5.3.6.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

Этап 5.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.6.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ — обратная к $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$