Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ в виде уравнения.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = x$ .

$\frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = 4 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{\sqrt[3]{y - 6}}{4} = 4 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt[3]{y - 6} = 4 x$

Этап 3.4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{y - 6}}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 3.5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y - 6}$ в виде ${(y - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим ${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 3.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 3.5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y - 6)}^{1} = {(4 x)}^{3}$

Этап 3.5.2.1.2

Упростим.

$y - 6 = {(4 x)}^{3}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим ${(4 x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Применим правило умножения к $4 x$ .

$y - 6 = 4^{3} x^{3}$

Этап 3.5.3.1.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$y - 6 = 64 x^{3}$

Этап 3.6

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = 64 x^{3} + 6$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$ обратной к $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4})}^{3} + 6$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x - 6}}^{3}}{4^{3}}) + 6$

Этап 5.2.3.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x - 6}}^{3}$ в виде $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 6}$ в виде ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}}) + 6$

Этап 5.2.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}}) + 6$

Этап 5.2.3.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{3}}}{4^{3}}) + 6$

Этап 5.2.3.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{3}}}{4^{3}}) + 6$

Этап 5.2.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{4^{3}}) + 6$

Этап 5.2.3.2.5

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{4^{3}}) + 6$

Этап 5.2.3.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{64}) + 6$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = 64 (\frac{x - 6}{64}) + 6$

Этап 5.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x - 6 + 6$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 6 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 6$ и $6$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (64 x^{3} + 6)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{(64 x^{3} + 6) - 6}}{4}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $6$ из $6$ .

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{64 x^{3} + 0}}{4}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $64 x^{3}$ и $0$ .

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{64 x^{3}}}{4}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем $64 x^{3}$ в виде ${(4 x)}^{3}$ .

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{{(4 x)}^{3}}}{4}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (64 x^{3} + 6) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (64 x^{3} + 6) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$ — обратная к $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = 64 x^{3} + 6$