Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt{2 - x}}{x^{2} - 4 x + 3}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 - x \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 2$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x \leq 2$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{2 - x}}{x^{2} - 4 x + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим $x^{2} - 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 4.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x - 1) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 3, 1$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 1) \cup (1, 2]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 2, x \neq 1}$

Этап 6