Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3}$ , $\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

Этап 1

Вычислим числитель в $\frac{f (a + h) - f a}{h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $a + h$ .

$f (a + h) = {(a + h)}^{3}$

Этап 1.2

Заменим обозначения функций в $f (a + h) - f a$ фактическими функциями.

$({(a + h)}^{3}) - x^{3} a$

Этап 1.3

Упростим $({(a + h)}^{3}) - x^{3} a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3} - x^{3} a$

Этап 1.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3} - 1 a x^{3}$

Этап 1.3.2.2

Перенесем $h^{3}$ .

$a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} - 1 a x^{3} + h^{3}$

Этап 1.3.2.3

Перенесем $3 a h^{2}$ .

$a^{3} + 3 a^{2} h - 1 a x^{3} + 3 a h^{2} + h^{3}$

Этап 1.3.2.4

Перенесем $3 a^{2} h$ .

$a^{3} - 1 a x^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}$

Этап 1.3.2.5

Изменим порядок $a^{3}$ и $- 1 a x^{3}$ .

$- 1 a x^{3} + a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}$

Этап 2

Перепишем $\frac{f (a + h) - f a}{h}$ .

$\frac{- 1 a x^{3} + a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}}{h}$

Этап 3

Упростим $\frac{- 1 a x^{3} + a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}}{h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 a x^{3}$ .

$\frac{- (a x^{3}) + a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}}{h}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $a^{3}$ .

$\frac{- (a x^{3}) - 1 (- a^{3}) + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}}{h}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a x^{3}) - 1 (- a^{3})$ .

$\frac{- (a x^{3} - a^{3}) + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}}{h}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $3 a^{2} h$ .

$\frac{- (a x^{3} - a^{3}) - (- 3 a^{2} h) + 3 a h^{2} + h^{3}}{h}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a x^{3} - a^{3}) - (- 3 a^{2} h)$ .

$\frac{- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h) + 3 a h^{2} + h^{3}}{h}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $3 a h^{2}$ .

$\frac{- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h) - (- 3 a h^{2}) + h^{3}}{h}$

Этап 3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h) - (- 3 a h^{2})$ .

$\frac{- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2}) + h^{3}}{h}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $h^{3}$ .

$\frac{- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2}) - 1 (- h^{3})}{h}$

Этап 3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2}) - 1 (- h^{3})$ .

$\frac{- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3})}{h}$

Этап 3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перепишем $- (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3})$ в виде $- 1 (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3})$ .

$\frac{- 1 (a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3})}{h}$

Этап 3.10.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}}{h}$