Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{x - \sqrt{x + 2}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 2}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 2 \geq 0$

Этап 2

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 2$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - \sqrt{x + 2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - \sqrt{x + 2} \geq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x$ из обеих частей неравенства.

$- \sqrt{x + 2} \geq - x$

Этап 4.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(- \sqrt{x + 2})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 2}$ в виде ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим ${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- x)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- x)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 2)}^{1} \geq {(- x)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.5

Упростим.

$x + 2 \geq {(- x)}^{2}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим ${(- x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$x + 2 \geq {(- 1)}^{2} x^{2}$

Этап 4.3.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x + 2 \geq 1 x^{2}$

Этап 4.3.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x + 2 \geq x^{2}$

Этап 4.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$x + 2 - x^{2} \geq 0$

Этап 4.4.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x + 2 - x^{2} = 0$

Этап 4.4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x + 2 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.1.1

Перенесем $2$ .

$x - x^{2} + 2 = 0$

Этап 4.4.3.1.1.2

Изменим порядок $x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 2 = 0$

Этап 4.4.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 2 = 0$

Этап 4.4.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 2 = 0$

Этап 4.4.3.1.4

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 4.4.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 4.4.3.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - x) - 1 (- 2)$ .

$- (x^{2} - x - 2) = 0$

Этап 4.4.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.2.1

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 4.4.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Этап 4.4.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 2) (x + 1) = 0$

Этап 4.4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.4.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.4.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.4.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.4.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 2) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 2, - 1$

Этап 4.5

Найдем область определения $x - \sqrt{x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

$x + 2 \geq 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 2$

Этап 4.5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 2, \infty)$

Этап 4.6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \geq 2$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 2}$

Этап 6