Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{\frac{x^{2}}{x + 1}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{x^{2}}{x + 1}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x^{2}}{x + 1} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - 1$

Этап 2.6

Объединим решения.

$x = 0, - 1$

Этап 2.7

Найдем область определения $\frac{x^{2}}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2}}{x + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 1 = 0$

Этап 2.7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Этап 2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 4)}^{2}}{(- 4) + 1} \geq 0$

Этап 2.9.1.3

Левая часть $- 5.\overline{3}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.9.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.5$

Этап 2.9.2.2

Заменим $x$ на $- 0.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 0.5)}^{2}}{(- 0.5) + 1} \geq 0$

Этап 2.9.2.3

Левая часть $0.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.9.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.9.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(2)}^{2}}{(2) + 1} \geq 0$

Этап 2.9.3.3

Левая часть $1.\overline{3}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Истина

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Истина

Этап 2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 < x \leq 0$ или $x \geq 0$

Этап 2.11

Объединим интервалы.

$x > - 1$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2}}{x + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 1 = 0$

Этап 4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 1}$

Этап 6