Основы мат. анализа Примеры

$- \frac{5 x - 4}{(x + 1) (x - 2)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Этап 1.2

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 1) (x - 2)$ .

$- \frac{(5 x - 4) (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{(5 x - 4) (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{(5 x - 4) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{(5 x - 4) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.5.2

Разделим $5 x - 4$ на $1$ .

$- (5 x - 4) = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- (5 x) + 4 = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 x + 4 = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.7.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- 5 x + 4 = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$- 5 x + 4 = \frac{A (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.8.1.2

Разделим $(A) (x - 2)$ на $1$ .

$- 5 x + 4 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 x + 4 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.8.3

Перенесем $- 2$ влево от $A$ .

$- 5 x + 4 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.8.4

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Сократим общий множитель.

$- 5 x + 4 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 1.8.4.2

Разделим $(B) (x + 1)$ на $1$ .

$- 5 x + 4 = A x - 2 A + (B) (x + 1)$

Этап 1.8.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 x + 4 = A x - 2 A + B x + B \cdot 1$

Этап 1.8.6

Умножим $B$ на $1$ .

$- 5 x + 4 = A x - 2 A + B x + B$

Этап 1.9

Перенесем $- 2 A$ .

$- 5 x + 4 = A x + B x - 2 A + B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 5 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$4 = - 2 A + B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$- 5 = A + B$

$4 = - 2 A + B$

$- 5 = A + B$

$4 = - 2 A + B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $- 5 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = - 5$ .

$A + B = - 5$

$4 = - 2 A + B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - 5 - B$

$4 = - 2 A + B$

$A = - 5 - B$

$4 = - 2 A + B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 5 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $4 = - 2 A + B$ на $- 5 - B$ .

$4 = - 2 (- 5 - B) + B$

$A = - 5 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 2 (- 5 - B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = - 2 \cdot - 5 - 2 (- B) + B$

$A = - 5 - B$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$4 = 10 - 2 (- B) + B$

$A = - 5 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$4 = 10 + 2 B + B$

$A = - 5 - B$

$4 = 10 + 2 B + B$

$A = - 5 - B$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $2 B$ и $B$ .

$4 = 10 + 3 B$

$A = - 5 - B$

$4 = 10 + 3 B$

$A = - 5 - B$

$4 = 10 + 3 B$

$A = - 5 - B$

$4 = 10 + 3 B$

$A = - 5 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $4 = 10 + 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $10 + 3 B = 4$ .

$10 + 3 B = 4$

$A = - 5 - B$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$3 B = 4 - 10$

$A = - 5 - B$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $10$ из $4$ .

$3 B = - 6$

$A = - 5 - B$

$3 B = - 6$

$A = - 5 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $3 B = - 6$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $3 B = - 6$ на $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 6}{3}$

$A = - 5 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 6}{3}$

$A = - 5 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 6}{3}$

$A = - 5 - B$

$B = \frac{- 6}{3}$

$A = - 5 - B$

$B = \frac{- 6}{3}$

$A = - 5 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $- 6$ на $3$ .

$B = - 2$

$A = - 5 - B$

$B = - 2$

$A = - 5 - B$

$B = - 2$

$A = - 5 - B$

$B = - 2$

$A = - 5 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - 5 - B$ на $- 2$ .

$A = - 5 - (- 2)$

$B = - 2$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- 5 - (- 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$A = - 5 + 2$

$B = - 2$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $- 5$ и $2$ .

$A = - 3$

$B = - 2$

$A = - 3$

$B = - 2$

$A = - 3$

$B = - 2$

$A = - 3$

$B = - 2$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = - 3, B = - 2$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- 3}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 2}$