Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{(x + 10) (x + 6) (x - 8)}{- 2 x^{3} + 7 x^{2} - x - 10}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{(x + 10) (x + 6) (x - 8)}{- 2 x^{3} + 7 x^{2} - x - 10}$ не определено.

$x = - 1, x = 2, x = \frac{5}{2}$

Этап 2

Поскольку $\frac{(x + 10) (x + 6) (x - 8)}{- 2 x^{3} + 7 x^{2} - x - 10}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 1$ слева, а $\frac{(x + 10) (x + 6) (x - 8)}{- 2 x^{3} + 7 x^{2} - x - 10}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 1$ справа, то $x = - 1$ — вертикальная асимптота.

$x = - 1$

Этап 3

Поскольку $\frac{(x + 10) (x + 6) (x - 8)}{- 2 x^{3} + 7 x^{2} - x - 10}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $2$ слева, а $\frac{(x + 10) (x + 6) (x - 8)}{- 2 x^{3} + 7 x^{2} - x - 10}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $2$ справа, то $x = 2$ — вертикальная асимптота.

$x = 2$

Этап 4

Поскольку $\frac{(x + 10) (x + 6) (x - 8)}{- 2 x^{3} + 7 x^{2} - x - 10}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $\frac{5}{2}$ слева, а $\frac{(x + 10) (x + 6) (x - 8)}{- 2 x^{3} + 7 x^{2} - x - 10}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $\frac{5}{2}$ справа, то $x = \frac{5}{2}$ — вертикальная асимптота.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 5

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 1, 2, \frac{5}{2}$

Этап 6

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 7

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 3$

Этап 8

Поскольку $n = m$ , горизонтальной асимптотой является прямая $y = \frac{a}{b}$ , где $a = 1$ и $b = - 2$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Этап 9

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 10

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 1, 2, \frac{5}{2}$

Горизонтальные асимптоты: $y = - \frac{1}{2}$

Нет наклонных асимптот

Этап 11