Основы мат. анализа Примеры

If $f (x) = 3 x + 6$ then find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 3 x + 6$ в виде уравнения.

$y = 3 x + 6$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 3 y + 6$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3 y + 6 = x$ .

$3 y + 6 = x$

Этап 3.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$3 y = x - 6$

Этап 3.3

Разделим каждый член $3 y = x - 6$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $3 y = x - 6$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 6}{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 6}{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 6}{3}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $- 6$ на $3$ .

$y = \frac{x}{3} - 2$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - 2$ обратной к $f (x) = 3 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3 x + 6)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 x + 6}{3} - 2$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $3 x + 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

Этап 5.2.3.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 (x) + 3 \cdot 2}{3} - 2$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (2)$ .

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Этап 5.2.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 (x + 2)}{3 (1)} - 2$

Этап 5.2.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{3 (x + 2)}{3 \cdot 1} - 2$

Этап 5.2.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (3 x + 6) = \frac{x + 2}{1} - 2$

Этап 5.2.3.4.4

Разделим $x + 2$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 x + 6) = x + 2 - 2$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (3 x + 6) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 x + 6) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x}{3} - 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x}{3} - 2) = 3 (\frac{x}{3} - 2) + 6$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x}{3} - 2) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 2 + 6$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{3} - 2) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 2 + 6$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{3} - 2) = x + 3 \cdot - 2 + 6$

Этап 5.3.3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f (\frac{x}{3} - 2) = x - 6 + 6$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 6 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 6$ и $6$ .

$f (\frac{x}{3} - 2) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x}{3} - 2) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - 2$ — обратная к $f (x) = 3 x + 6$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - 2$