Основы мат. анализа Примеры

If $f (x) = x^{2}$ and $g (x) = 3 x - 1$ ; find $f (g (x))$

Этап 1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (g (x))$

Этап 2

Найдем значение $f (3 x - 1)$ , подставив значение $g$ в $f$ .

$f (3 x - 1) = {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 3

Перепишем ${(3 x - 1)}^{2}$ в виде $(3 x - 1) (3 x - 1)$ .

$f (3 x - 1) = (3 x - 1) (3 x - 1)$

Этап 4

Развернем $(3 x - 1) (3 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (3 x - 1) = 3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (3 x - 1) = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1)$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (3 x - 1) = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (3 x - 1) = 3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f (3 x - 1) = 3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (3 x - 1) = 3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$f (3 x - 1) = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (3 x - 1) = 9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 5.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (3 x - 1) = 9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1$

Этап 5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (3 x - 1) = 9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1$

Этап 5.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$f (3 x - 1) = 9 x^{2} - 6 x + 1$