Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + 2 y = 8 x - 7$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 y = 8 x - 7 - x^{2}$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $2 y = 8 x - 7 - x^{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $2 y = 8 x - 7 - x^{2}$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{8 x}{2} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{8 x}{2} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{8 x}{2} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$y = \frac{2 (4 x)}{2} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = \frac{2 (4 x)}{2 (1)} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 (4 x)}{2 \cdot 1} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4 x}{1} + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2.4

Разделим $4 x$ на $1$ .

$y = 4 x + \frac{- 7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = 4 x - \frac{7}{2} + \frac{- x^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = 4 x - \frac{7}{2} - \frac{x^{2}}{2}$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $4 x - \frac{7}{2} - \frac{x^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перенесем $- \frac{7}{2}$ .

$4 x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{7}{2}$

Этап 1.2.1.2

Изменим порядок $4 x$ и $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + 4 x - \frac{7}{2}$

Этап 1.2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 4$

$c = - \frac{7}{2}$

Этап 1.2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.2.4.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 2 (- 1 \cdot 2)$

Этап 1.2.4.2.3

Умножим $2 (- 1 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d = 2 \cdot - 2$

Этап 1.2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$d = - 4$

Этап 1.2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{7}{2} - \frac{4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = - \frac{7}{2} - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.5.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$e = - \frac{7}{2} - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$e = - \frac{7}{2} - \frac{4}{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.2.5.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = - \frac{7}{2} - (4 (- 1 \cdot 2))$

Этап 1.2.5.2.1.3

Умножим $- (4 (- 1 \cdot 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e = - \frac{7}{2} - (4 \cdot - 2)$

Этап 1.2.5.2.1.3.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$e = - \frac{7}{2} - - 8$

Этап 1.2.5.2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$e = - \frac{7}{2} + 8$

Этап 1.2.5.2.2

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{7}{2} + 8 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.5.2.3

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{7}{2} + \frac{8 \cdot 2}{2}$

Этап 1.2.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 7 + 8 \cdot 2}{2}$

Этап 1.2.5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Умножим $8$ на $2$ .

$e = \frac{- 7 + 16}{2}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Добавим $- 7$ и $16$ .

$e = \frac{9}{2}$

Этап 1.2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} + \frac{9}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} + \frac{9}{2}$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{2} + \frac{9}{2}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = \frac{9}{2}$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(4, \frac{9}{2})$

Этап 4