Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (5^{x + 1} - 20) = x$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log_{5} (5^{x + 1} - 20)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$5^{x + 1} - 20 > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $20$ к обеим частям неравенства.

$5^{x + 1} > 20$

Этап 2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{x + 1}) > \ln (20)$

Этап 2.3

Развернем $\ln (5^{x + 1})$ , вынося $x + 1$ из логарифма.

$(x + 1) \ln (5) > \ln (20)$

Этап 2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим $(x + 1) \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (5) + 1 \ln (5) > \ln (20)$

Этап 2.4.1.2

Умножим $\ln (5)$ на $1$ .

$x \ln (5) + \ln (5) > \ln (20)$

Этап 2.5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x \ln (5) + \ln (5) - \ln (20) = 0$

Этап 2.6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (5) + \ln (\frac{5}{20}) = 0$

Этап 2.7

Сократим общий множитель $5$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 (1)}{20}) = 0$

Этап 2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}) = 0$

Этап 2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}) = 0$

Этап 2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$x \ln (5) + \ln (\frac{1}{4}) = 0$

Этап 2.8

Вычтем $\ln (\frac{1}{4})$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$

Этап 2.9

Разделим каждый член $x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$ на $\ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Разделим каждый член $x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$ на $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Этап 2.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Сократим общий множитель $\ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Этап 2.9.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Этап 2.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Этап 2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}}$

Этап 4