Основы мат. анализа Примеры

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$a^{2} - a + a b - b = 0$

Этап 2

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1 + b$ и $c = - b$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{- (- 1 + b) \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- b))}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.3

Перепишем ${(- 1 + b)}^{2}$ в виде $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.4

Развернем $(- 1 + b) (- 1 + b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.5.1.2

Перепишем $- 1 b$ в виде $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.5.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.5.1.4

Перепишем $- 1 b$ в виде $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.5.1.5

Умножим $b$ на $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.5.2

Вычтем $b$ из $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.6

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.6.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.6.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.7

Добавим $- 2 b$ и $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.8

Изменим порядок членов.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Этап 2.3.1.9.3

Перепишем многочлен.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.9.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = b$ и $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Этап 2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.3

Перепишем ${(- 1 + b)}^{2}$ в виде $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.4

Развернем $(- 1 + b) (- 1 + b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.5.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.5.1.2

Перепишем $- 1 b$ в виде $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.5.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.5.1.4

Перепишем $- 1 b$ в виде $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.5.1.5

Умножим $b$ на $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.5.2

Вычтем $b$ из $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.6

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.6.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.6.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.7

Добавим $- 2 b$ и $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.8

Изменим порядок членов.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Этап 2.4.1.9.3

Перепишем многочлен.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.9.4

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Этап 2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$a = \frac{1 - b + b + 1}{2}$

Этап 2.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Добавим $1$ и $1$ .

$a = \frac{- b + b + 2}{2}$

Этап 2.4.4.2

Добавим $- b$ и $b$ .

$a = \frac{0 + 2}{2}$

Этап 2.4.4.3

Добавим $0$ и $2$ .

$a = \frac{2}{2}$

Этап 2.4.5

Разделим $2$ на $2$ .

$a = 1$

Этап 2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.3

Перепишем ${(- 1 + b)}^{2}$ в виде $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.4

Развернем $(- 1 + b) (- 1 + b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.5.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.5.1.2

Перепишем $- 1 b$ в виде $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.5.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.5.1.4

Перепишем $- 1 b$ в виде $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.5.1.5

Умножим $b$ на $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.5.2

Вычтем $b$ из $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.6

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.6.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.6.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.7

Добавим $- 2 b$ и $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.8

Изменим порядок членов.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Этап 2.5.1.9.3

Перепишем многочлен.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.9.4

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Этап 2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$a = \frac{1 - b - (b + 1)}{2}$

Этап 2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a = \frac{1 - b - b - 1 \cdot 1}{2}$

Этап 2.5.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$a = \frac{1 - b - b - 1}{2}$

Этап 2.5.4.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = \frac{- b - b + 0}{2}$

Этап 2.5.4.4

Добавим $- b - b$ и $0$ .

$a = \frac{- b - b}{2}$

Этап 2.5.4.5

Вычтем $b$ из $- b$ .

$a = \frac{- 2 b}{2}$

Этап 2.5.5

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 b$ .

$a = \frac{2 (- b)}{2}$

Этап 2.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$a = \frac{2 (- b)}{2 (1)}$

Этап 2.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$a = \frac{2 (- b)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$a = \frac{- b}{1}$

Этап 2.5.5.2.4

Разделим $- b$ на $1$ .

$a = - b$

Этап 2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$a = 1$

$a = - b$

$a = 1$

$a = - b$

Этап 3

Область определения ― это все значения $a$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${a | a \neq 1}$