Основы мат. анализа Примеры

$g (s) = \sqrt{\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 x + 4 = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 4$

Этап 2.3

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 2.4

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 5$

Этап 2.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{5}$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5}$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5}$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 2.7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - \frac{4}{3}$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 2.8

Объединим решения.

$x = - \frac{4}{3}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 2.9

Найдем область определения $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 5 = 0$

Этап 2.9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 5$

Этап 2.9.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{5}$

Этап 2.9.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5}$

Этап 2.9.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5}$

Этап 2.9.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 2.9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

Этап 2.10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \sqrt{5}$

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$

$x > \sqrt{5}$

Этап 2.11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Проверим значение на интервале $x < - \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 2.11.1.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (- 5) + 4}{{(- 5)}^{2} - 5} \geq 0$

Этап 2.11.1.3

Левая часть $- 0.55$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.11.2

Проверим значение на интервале $- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Выберем значение на интервале $- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.11.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (- 2) + 4}{{(- 2)}^{2} - 5} \geq 0$

Этап 2.11.2.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.11.3

Проверим значение на интервале $- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Выберем значение на интервале $- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.11.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (0) + 4}{{(0)}^{2} - 5} \geq 0$

Этап 2.11.3.3

Левая часть $- 0.8$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.11.4

Проверим значение на интервале $x > \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.4.1

Выберем значение на интервале $x > \sqrt{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 2.11.4.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (5) + 4}{{(5)}^{2} - 5} \geq 0$

Этап 2.11.4.3

Левая часть $0.95$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \sqrt{5}$ Ложь

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ Истина

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ Ложь

$x > \sqrt{5}$ Истина

$x < - \sqrt{5}$ Ложь

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ Истина

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ Ложь

$x > \sqrt{5}$ Истина

Этап 2.12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \sqrt{5} < x \leq - \frac{4}{3}$ или $x > \sqrt{5}$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 5 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 5$

Этап 4.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{5}$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5}$

Этап 4.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5}$

Этап 4.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}] \cup (\sqrt{5}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | - \sqrt{5} < x \leq - \frac{4}{3}, x > \sqrt{5}}$

Этап 6