Основы мат. анализа Примеры

$L (v) = v \ln (1 - v^{2})$

Этап 1

Зададим аргумент в $\ln (1 - v^{2})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 - v^{2} > 0$

Этап 2

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- v^{2} > - 1$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- v^{2} > - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- v^{2} > - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- v^{2}}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{v^{2}}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $v^{2}$ на $1$ .

$v^{2} < \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$v^{2} < 1$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{v^{2}} < \sqrt{1}$

Этап 2.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| v | < \sqrt{1}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| v | < 1$

Этап 2.5

Запишем $| v | < 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$v \geq 0$

Этап 2.5.2

В части, где $v$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$v < 1$

Этап 2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$v < 0$

Этап 2.5.4

В части, где $v$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- v < 1$

Этап 2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} v < 1 & v \geq 0 \\ - v < 1 & v < 0 \end{cases}$

Этап 2.6

Найдем пересечение $v < 1$ и $v \geq 0$ .

$0 \leq v < 1$

Этап 2.7

Решим $- v < 1$ , когда $v < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $- v < 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Разделим каждый член $- v < 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- v}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

Этап 2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{v}{1} > \frac{1}{- 1}$

Этап 2.7.1.2.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v > \frac{1}{- 1}$

Этап 2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$v > - 1$

Этап 2.7.2

Найдем пересечение $v > - 1$ и $v < 0$ .

$- 1 < v < 0$

Этап 2.8

Найдем объединение решений.

$- 1 < v < 1$

Этап 3

Область определения ― это все значения $v$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 1, 1)$

Обозначение построения множества:

${v | - 1 < v < 1}$

Этап 4