Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x - 3}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{16 - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$16 - x^{2} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $16$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 16$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 16$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 16$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 16$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 16$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{16}$

Этап 2.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{16}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим $\sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{4^{2}}$

Этап 2.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 4 |$

Этап 2.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$| x | \leq 4$

Этап 2.5

Запишем $| x | \leq 4$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 4$

Этап 2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 4$

Этап 2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 4 & x \geq 0 \\ - x \leq 4 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.6

Найдем пересечение $x \leq 4$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 4$

Этап 2.7

Решим $- x \leq 4$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $- x \leq 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Этап 2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Этап 2.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Этап 2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.1

Разделим $4$ на $- 1$ .

$x \geq - 4$

Этап 2.7.2

Найдем пересечение $x \geq - 4$ и $x < 0$ .

$- 4 \leq x < 0$

Этап 2.8

Найдем объединение решений.

$- 4 \leq x \leq 4$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x - 3}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{16 - x^{2}} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{16 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{16 - x^{2}}$ в виде ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(16 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$16 - x^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$16 - x^{2} = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 16$

Этап 4.3.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 16$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 16$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 4.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Разделим $- 16$ на $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Этап 4.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 4.3.4

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 4.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 4.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 4.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 4, 4)$

Обозначение построения множества:

${x | - 4 < x < 4}$

Этап 6