Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{5 x}{5 + \sqrt{20 - x}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{20 - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$20 - x \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $20$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 20$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 20$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 20$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 20}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 20$ на $- 1$ .

$x \leq 20$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{5 x}{5 + \sqrt{20 - x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 + \sqrt{20 - x} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{20 - x} = - 5$

Этап 4.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{20 - x}}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{20 - x}$ в виде ${(20 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(20 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(20 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(20 - x)}^{1} = {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим.

$20 - x = {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$20 - x = 25$

Этап 4.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$- x = 25 - 20$

Этап 4.4.1.2

Вычтем $20$ из $25$ .

$- x = 5$

Этап 4.4.2

Разделим каждый член $- x = 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разделим каждый член $- x = 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{5}{- 1}$

Этап 4.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{5}{- 1}$

Этап 4.4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{- 1}$

Этап 4.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.1

Разделим $5$ на $- 1$ .

$x = - 5$

Этап 4.5

Исключим решения, которые не делают $5 + \sqrt{20 - x} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 20]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 20}$

Этап 6