Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 5}{2 - x}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{x + 5}{2 - x}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x + 5}{2 - x} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 5 = 0$

$2 - x = 0$

Этап 2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 2.4

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 2.5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 5$

$x = 2$

Этап 2.6

Объединим решения.

$x = - 5, 2$

Этап 2.7

Найдем область определения $\frac{x + 5}{2 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 5}{2 - x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 - x = 0$

Этап 2.7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 2.7.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.7.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 2.7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 2$

$x > 2$

Этап 2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 8) + 5}{2 - (- 8)} \geq 0$

Этап 2.9.1.3

Левая часть $- 0.3$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.9.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 5}{2 - (0)} \geq 0$

Этап 2.9.2.3

Левая часть $2.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.9.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.9.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) + 5}{2 - (4)} \geq 0$

Этап 2.9.3.3

Левая часть $- 4.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 \leq x < 2$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x + 5}{2 - x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 - x = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 5, 2)$

Обозначение построения множества:

${x | - 5 \leq x < 2}$

Этап 6