Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{5} - 6$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{5} - 6$ в виде уравнения.

$y = x^{5} - 6$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y^{5} - 6$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y^{5} - 6 = x$ .

$y^{5} - 6 = x$

Этап 3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y^{5} = x + 6$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[5]{x + 6}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 6}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 6}$ обратной к $f (x) = x^{5} - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (x^{5} - 6)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{5} - 6) = \sqrt[5]{(x^{5} - 6) + 6}$

Этап 5.2.3

Добавим $- 6$ и $6$ .

$f^{- 1} (x^{5} - 6) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Этап 5.2.4

Добавим $x^{5}$ и $0$ .

$f^{- 1} (x^{5} - 6) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Этап 5.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (x^{5} - 6) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[5]{x + 6})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[5]{x + 6}) = {(\sqrt[5]{x + 6})}^{5} - 6$

Этап 5.3.3

Перепишем ${\sqrt[5]{x + 6}}^{5}$ в виде $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x + 6}$ в виде ${(x + 6)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{x + 6}) = {({(x + 6)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 6$

Этап 5.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{x + 6}) = {(x + 6)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6$

Этап 5.3.3.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$f (\sqrt[5]{x + 6}) = {(x + 6)}^{\frac{5}{5}} - 6$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[5]{x + 6}) = {(x + 6)}^{\frac{5}{5}} - 6$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[5]{x + 6}) = (x + 6) - 6$

Этап 5.3.3.5

Упростим.

$f (\sqrt[5]{x + 6}) = x + 6 - 6$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 6 - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $6$ из $6$ .

$f (\sqrt[5]{x + 6}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\sqrt[5]{x + 6}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 6}$ — обратная к $f (x) = x^{5} - 6$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 6}$