Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{\sqrt{x + 1} + 1}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 1 \geq 0$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\sqrt{x + 1} + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sqrt{x + 1} + 1 \geq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$\sqrt{x + 1} \geq - 1$

Этап 4.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x + 1}}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 1)}^{1} \geq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим.

$x + 1 \geq {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x + 1 \geq 1$

Этап 4.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq 1 - 1$

Этап 4.4.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$x \geq 0$

Этап 4.5

Найдем область определения $\sqrt{x + 1} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

$x + 1 \geq 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 4.5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 1, \infty)$

Этап 4.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Этап 4.7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 4.7.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(- 4) + 1} + 1 \geq 0$

Этап 4.7.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.7.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.5$

Этап 4.7.2.2

Заменим $x$ на $- 0.5$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(- 0.5) + 1} + 1 \geq 0$

Этап 4.7.2.3

Левая часть $1.70710678$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.7.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 4.7.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(2) + 1} + 1 \geq 0$

Этап 4.7.3.3

Левая часть $2.7320508$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Истина

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Истина

Этап 4.8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 \leq x \leq 0$ или $x \geq 0$

Этап 4.9

Объединим интервалы.

$x \geq - 1$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq - 1}$

Этап 6