Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - x - 6$ $g (x) = 3 x^{2} + 7 x + 15$ Find: $((g \circ f)) (x)$

Этап 1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g (f (x))$

Этап 2

Найдем значение $g (- x - 6)$ , подставив значение $f$ в $g$ .

$g (- x - 6) = 3 {(- x - 6)}^{2} + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(- x - 6)}^{2}$ в виде $(- x - 6) (- x - 6)$ .

$g (- x - 6) = 3 ((- x - 6) (- x - 6)) + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.2

Развернем $(- x - 6) (- x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g (- x - 6) = 3 (- x (- x - 6) - 6 (- x - 6)) + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$g (- x - 6) = 3 (- x (- x) - x \cdot - 6 - 6 (- x - 6)) + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$g (- x - 6) = 3 (- x (- x) - x \cdot - 6 - 6 (- x) - 6 \cdot - 6) + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$g (- x - 6) = 3 (- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot - 6 - 6 (- x) - 6 \cdot - 6) + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$g (- x - 6) = 3 (- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot - 6 - 6 (- x) - 6 \cdot - 6) + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$g (- x - 6) = 3 (- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot - 6 - 6 (- x) - 6 \cdot - 6) + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (- x - 6) = 3 (1 x^{2} - x \cdot - 6 - 6 (- x) - 6 \cdot - 6) + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$g (- x - 6) = 3 (x^{2} - x \cdot - 6 - 6 (- x) - 6 \cdot - 6) + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$g (- x - 6) = 3 (x^{2} + 6 x - 6 (- x) - 6 \cdot - 6) + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$g (- x - 6) = 3 (x^{2} + 6 x + 6 x - 6 \cdot - 6) + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.3.1.7

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$g (- x - 6) = 3 (x^{2} + 6 x + 6 x + 36) + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.3.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$g (- x - 6) = 3 (x^{2} + 12 x + 36) + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$g (- x - 6) = 3 x^{2} + 3 (12 x) + 3 \cdot 36 + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $12$ на $3$ .

$g (- x - 6) = 3 x^{2} + 36 x + 3 \cdot 36 + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.5.2

Умножим $3$ на $36$ .

$g (- x - 6) = 3 x^{2} + 36 x + 108 + 7 (- x - 6) + 15$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$g (- x - 6) = 3 x^{2} + 36 x + 108 + 7 (- x) + 7 \cdot - 6 + 15$

Этап 3.7

Умножим $- 1$ на $7$ .

$g (- x - 6) = 3 x^{2} + 36 x + 108 - 7 x + 7 \cdot - 6 + 15$

Этап 3.8

Умножим $7$ на $- 6$ .

$g (- x - 6) = 3 x^{2} + 36 x + 108 - 7 x - 42 + 15$

Этап 4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $7 x$ из $36 x$ .

$g (- x - 6) = 3 x^{2} + 29 x + 108 - 42 + 15$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $42$ из $108$ .

$g (- x - 6) = 3 x^{2} + 29 x + 66 + 15$

Этап 4.2.2

Добавим $66$ и $15$ .

$g (- x - 6) = 3 x^{2} + 29 x + 81$