Основы мат. анализа Примеры

$g (t) = \frac{\ln (π - | t |)}{\sin (t) - \frac{1}{2}}$

Этап 1

Зададим аргумент в $\ln (π - | t |)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$π - | t | > 0$

Этап 2

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $π - | t | > 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$t \geq 0$

Этап 2.1.2

В части, где $t$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$π - t > 0$

Этап 2.1.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$t < 0$

Этап 2.1.4

В части, где $t$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$π - - t > 0$

Этап 2.1.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π - - t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Этап 2.1.6

Умножим $- - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π + 1 t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Этап 2.1.6.2

Умножим $t$ на $1$ .

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π + t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Этап 2.2

Решим $π - t > 0$ , когда $t \geq 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Решим $π - t > 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вычтем $π$ из обеих частей неравенства.

$- t > - π$

Этап 2.2.1.2

Разделим каждый член $- t > - π$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Разделим каждый член $- t > - π$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- t}{- 1} < \frac{- π}{- 1}$

Этап 2.2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{t}{1} < \frac{- π}{- 1}$

Этап 2.2.1.2.2.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t < \frac{- π}{- 1}$

Этап 2.2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$t < \frac{π}{1}$

Этап 2.2.1.2.3.2

Разделим $π$ на $1$ .

$t < π$

Этап 2.2.2

Найдем пересечение $t < π$ и $t \geq 0$ .

$0 \leq t < π$

Этап 2.3

Решим $π + t > 0$ , когда $t < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $π$ из обеих частей неравенства.

$t > - π$

Этап 2.3.2

Найдем пересечение $t > - π$ и $t < 0$ .

$- π < t < 0$

Этап 2.4

Найдем объединение решений.

$- π < t < π$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{\ln (π - | t |)}{\sin (t) - \frac{1}{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sin (t) - \frac{1}{2} = 0$

Этап 4

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

Этап 4.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}$

Этап 4.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$t = π - \frac{π}{6}$

Этап 4.5

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 4.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 4.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 4.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 4.5.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{6}$

Этап 4.6

Найдем период $\sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.7

Период функции $\sin (t)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$t = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Область определения ― это все значения $t$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${t | - π < t < π, t \neq \frac{π}{6} + 2 π n, t \neq \frac{5 π}{6} + 2 π n}$

Этап 6