Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + x - 20}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} + x - 20}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} + x - 20 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + x - 20 = 0$

Этап 2.2

Разложим $x^{2} + x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $1$ .

$- 4, 5$

Этап 2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.5

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 4, - 5$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 4$

$x > 4$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

${(- 8)}^{2} - 8 - 20 \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $36$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} + 0 - 20 \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $- 20$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{2} + 6 - 20 \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $22$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 5$ или $x \geq 4$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt{x^{2} + x - 20}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x^{2} + x - 20} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x^{2} + x - 20}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + x - 20}$ в виде ${(x^{2} + x - 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + x - 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${({(x^{2} + x - 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + x - 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + x - 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} + x - 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} + x - 20)}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$x^{2} + x - 20 = 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} + x - 20 = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разложим $x^{2} + x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

$- 4, 5$

Этап 4.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Этап 4.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 4.3.3

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.3.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4.3.4

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 4.3.4.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 4.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 4, - 5$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 5) \cup (4, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < - 5, x > 4}$

Этап 6