Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 \csc (4 x)$

Этап 1

Вертикальные асимптоты функции $y = \csc (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, 2 π)$ для $y = c s c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = 3 \csc (4 x)$ . Положив аргумент косеканса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \csc (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = 3 \csc (4 x)$ .

$4 x = 0$

Этап 2

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 3

Выражение внутри косеканса $4 x$ приравняем $2 π$ .

$4 x = 2 π$

Этап 4

Разделим каждый член $4 x = 2 π$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $4 x = 2 π$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Этап 4.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5

Основной период $y = 3 \csc (4 x)$ находится на промежутке $(0, \frac{π}{2})$ , где $0$ и $\frac{π}{2}$ являются вертикальными асимптотами.

$(0, \frac{π}{2})$

Этап 6

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 7

Вертикальные асимптоты $y = 3 \csc (4 x)$ находятся в $0$ , $\frac{π}{2}$ и в каждой точке $\frac{π n}{4}$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = \frac{π n}{4}$

Этап 8

У косеканса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π n}{4}$ , где $n$ — целое число

Этап 9