Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{3} - y^{3}}{x + y} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{3} - y^{3}}{x + y}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + y = 0$

Этап 2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x = - y$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + x y + y^{2} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = y$ и $c = y^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Умножим на $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- y \pm y (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.7

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Умножим на $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- y \pm y (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.7

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- y + y i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.4.4

Вынесем множитель $y$ из $- y + y i \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$x = \frac{y \cdot - 1 + y i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.4.4.2

Вынесем множитель $y$ из $y i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{y \cdot - 1 + y (i \sqrt{3})}{2}$

Этап 4.4.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot - 1 + y (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{y (- 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 4.4.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 4.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3}))}{2}$

Этап 4.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{y (- 1 (1 - i \sqrt{3}))}{2}$

Этап 4.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 4.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1.1

Умножим на $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot y^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 1 + y^{2} \cdot (- 4 \cdot 1)$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- y \pm \sqrt{y^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- y \pm y \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- y \pm y (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.7

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- y \pm y i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- y - y i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Вынесем множитель $y$ из $- y - y i \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$x = \frac{y \cdot - 1 - y i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.5.4.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{y \cdot - 1 + y (- 1 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 4.5.4.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot - 1 + y (- 1 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{y (- 1 - 1 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 4.5.4.2

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$x = \frac{y (- 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 4.5.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 4.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{y (- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3}))}{2}$

Этап 4.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{y (- 1 (1 + i \sqrt{3}))}{2}$

Этап 4.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{y (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$x = - \frac{y (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$x = - \frac{y (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$x = - \frac{y (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 5

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$