Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 9 (x + 1)$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 9 (x + 1)$ в виде уравнения.

$y = 9 (x + 1)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 9 (y + 1)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $9 (y + 1) = x$ .

$9 (y + 1) = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $9 (y + 1) = x$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $9 (y + 1) = x$ на $9$ .

$\frac{9 (y + 1)}{9} = \frac{x}{9}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 (y + 1)}{9} = \frac{x}{9}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $y + 1$ на $1$ .

$y + 1 = \frac{x}{9}$

Этап 3.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \frac{x}{9} - 1$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} - 1$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} - 1$ обратной к $f (x) = 9 (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (9 (x + 1))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (9 (x + 1)) = \frac{9 (x + 1)}{9} - 1$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (9 (x + 1)) = \frac{9 (x + 1)}{9} - 1$

Этап 5.2.3.2

Разделим $x + 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (9 (x + 1)) = x + 1 - 1$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (9 (x + 1)) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (9 (x + 1)) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x}{9} - 1)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x}{9} - 1) = 9 ((\frac{x}{9} - 1) + 1)$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $(\frac{x}{9} - 1) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (\frac{x}{9} - 1) = 9 (\frac{x}{9} + 0)$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\frac{x}{9}$ и $0$ .

$f (\frac{x}{9} - 1) = 9 (\frac{x}{9})$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{9} - 1) = 9 (\frac{x}{9})$

Этап 5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{9} - 1) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} - 1$ — обратная к $f (x) = 9 (x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{9} - 1$