Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ , $x - 1$

Этап 1

Разделим $\frac{x^{3} + x^{2} - 5 x + 3}{x - 1}$ , используя схему Горнера, и проверим, равен ли остаток $0$ . Если остаток равен $0$ , это означает, что $x - 1$ является множителем для $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ . Если остаток не равен $0$ , это означает, что $x - 1$ не является множителем для $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$

Этап 1.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$

	$1$

Этап 1.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(1)$ .

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$
	$1$

Этап 1.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$
	$1$	$2$

Этап 1.5

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$	$2$
	$1$	$2$

Этап 1.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$	$2$
	$1$	$2$	$- 3$

Этап 1.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 3)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(- 3)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$	$2$	$- 3$
	$1$	$2$	$- 3$

Этап 1.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$	$2$	$- 3$
	$1$	$2$	$- 3$	$0$

Этап 1.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{2} + 2 x - 3$

Этап 1.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} + 2 x - 3$

Этап 2

Остаток от деления $\frac{x^{3} + x^{2} - 5 x + 3}{x - 1}$ равен $0$ , значит, $x - 1$ является делителем $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ .

$x - 1$ — множитель для $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$

Этап 3

Найдем все возможные корни для $x^{2} + 2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 3$

Этап 4

Выпишем следующее деление, чтобы определить, является ли $x - 1$ множителем полинома $x^{2} + 2 x - 3$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3}{x - 1}$

Этап 5

Разделим выражение с помощью схемы Горнера, чтобы определить, является ли оно делителем многочлена. Поскольку $x^{2} + 2 x - 3$ делится без остатка на $x - 1$ , то $x - 1$ является делителем этого многочлена. Остается многочлен $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$1$	$2$	$- 3$

Этап 5.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$1$	$2$	$- 3$

	$1$

Этап 5.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(2)$ .

$1$	$1$	$2$	$- 3$
		$1$
	$1$

Этап 5.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$2$	$- 3$
		$1$
	$1$	$3$

Этап 5.5

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(3)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$1$	$1$	$2$	$- 3$
		$1$	$3$
	$1$	$3$

Этап 5.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$2$	$- 3$
		$1$	$3$
	$1$	$3$	$0$

Этап 5.7

$(1) x + 3$

Этап 5.8

Упростим частное многочленов.

$x + 3$

Этап 6

Последний множитель ― это единственный множитель, остающийся при разложении многочлена по схеме Горнера.

$x + 3$

Этап 7

Многочлен, разложенный на множители: $(x - 1) (x - 1) (x + 3)$ .

$(x - 1) (x - 1) (x + 3)$