Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 2}{(x + 2) (x^{2} - 2 x - 15)}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{2} + x - 2}{(x + 2) (x^{2} - 2 x - 15)}$ не определено.

$x = - 3, x = - 2, x = 5$

Этап 2

Поскольку $\frac{x^{2} + x - 2}{(x + 2) (x^{2} - 2 x - 15)}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 3$ слева, а $\frac{x^{2} + x - 2}{(x + 2) (x^{2} - 2 x - 15)}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 3$ справа, то $x = - 3$ — вертикальная асимптота.

$x = - 3$

Этап 3

Поскольку $\frac{x^{2} + x - 2}{(x + 2) (x^{2} - 2 x - 15)}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $5$ слева, а $\frac{x^{2} + x - 2}{(x + 2) (x^{2} - 2 x - 15)}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $5$ справа, то $x = 5$ — вертикальная асимптота.

$x = 5$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 3, 5$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 3$

Этап 7

Поскольку $n < m$ , ось X, $y = 0$ , является горизонтальной асимптотой.

$y = 0$

Этап 8

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 3, 5$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Нет наклонных асимптот

Этап 10