Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{4} + x^{3} - 30 x^{2}}{x^{2} - 3 x - 18} \div \frac{x^{3} + x^{2} - 30 x}{x^{2} - 36}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{4} + x^{3} - 30 x^{2}}{x^{2} - 3 x - 18}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{2} - 3 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $- 3$ .

$- 6, 3$

Этап 2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 2.4

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 6, - 3$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x^{3} + x^{2} - 30 x}{x^{2} - 36}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 36 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $36$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 36$

Этап 4.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{36}$

Этап 4.3

Упростим $\pm \sqrt{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Этап 4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 6$

Этап 4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 6$

Этап 4.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 6$

Этап 4.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 6, - 6$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{x^{4} + x^{3} - 30 x^{2}}{x^{2} - 3 x - 18} \div \frac{x^{3} + x^{2} - 30 x}{x^{2} - 36}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 30 x}{x^{2} - 36} = 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем числитель к нулю.

$x^{3} + x^{2} - 30 x = 0$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + x^{2} - 30 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + x^{2} - 30 x = 0$

Этап 6.2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot x - 30 x = 0$

Этап 6.2.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 30 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 30 = 0$

Этап 6.2.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$x (x^{2} + x) + x \cdot - 30 = 0$

Этап 6.2.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + x) + x \cdot - 30$ .

$x (x^{2} + x - 30) = 0$

Этап 6.2.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Разложим $x^{2} + x - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 30$ , а сумма — $1$ .

$- 5, 6$

Этап 6.2.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((x - 5) (x + 6)) = 0$

Этап 6.2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 5) (x + 6) = 0$

Этап 6.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 6.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.2.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 6.2.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 6.2.5

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 6.2.5.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 6.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 5) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 0, 5, - 6$

Этап 6.3

Исключим решения, которые не делают $\frac{x^{3} + x^{2} - 30 x}{x^{2} - 36} = 0$ истинным.

$x = 0, 5$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 5) \cup (5, 6) \cup (6, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0, - 3, 5, 6, - 6}$

Этап 8