Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{\frac{4 x + 1}{x - 4}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\sqrt{\frac{4 x + 1}{x - 4}}$ не определено.

$- \frac{1}{4} < x \leq 4$

Этап 2

Поскольку $\sqrt{\frac{4 x + 1}{x - 4}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $4$ слева, а $\sqrt{\frac{4 x + 1}{x - 4}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $4$ справа, то $x = 4$ — вертикальная асимптота.

$x = 4$

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Горизонтальные асимптоты отсутствуют, поскольку $Q (x)$ равно $1$ .

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 4$

Нет горизонтальных асимптот

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 7