Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(x - 8)}^{\frac{1}{4}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(x - 8)}^{\frac{1}{4}}$ в виде уравнения.

$y = {(x - 8)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(y - 8)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(y - 8)}^{\frac{1}{4}} = x$ .

${(y - 8)}^{\frac{1}{4}} = x$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $4$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(y - 8)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${({(y - 8)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y - 8)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 8)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y - 8)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Этап 3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y - 8)}^{1} = x^{4}$

Этап 3.3.1.2

Упростим.

$y - 8 = x^{4}$

Этап 3.4

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$y = x^{4} + 8$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 8$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{4} + 8$ обратной к $f (x) = {(x - 8)}^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{4}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{4}}) = {({(x - 8)}^{\frac{1}{4}})}^{4} + 8$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 8)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{4}}) = {(x - 8)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 8$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{4}}) = {(x - 8)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 8$

Этап 5.2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{4}}) = (x - 8) + 8$

Этап 5.2.3.2

Упростим.

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{4}}) = x - 8 + 8$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 8 + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 8$ и $8$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{4}}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{\frac{1}{4}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x^{4} + 8)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{4} + 8) = {((x^{4} + 8) - 8)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $(x^{4} + 8) - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (x^{4} + 8) = {(x^{4} + 0)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $x^{4}$ и $0$ .

$f (x^{4} + 8) = {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Этап 5.3.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{4} + 8) = x^{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 5.3.4.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x^{4} + 8) = x^{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 5.3.4.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x^{4} + 8) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{4} + 8$ — обратная к $f (x) = {(x - 8)}^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 8$