Основы мат. анализа Примеры

f (x) = - x^{3}

$f (x) = - x^{3}$ ,

\frac{f (a + h) - f (a)}{h}

$\frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

Этап 1

Вычислим числитель в

\frac{f (a + h) - f a}{h}

$\frac{f (a + h) - f a}{h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

a + h

$a + h$ .

f (a + h) = - {(a + h)}^{3}

$f (a + h) = - {(a + h)}^{3}$

Этап 1.2

Заменим обозначения функций в

f (a + h) - f a

$f (a + h) - f a$ фактическими функциями.

(- {(a + h)}^{3}) + x^{3} a

$(- {(a + h)}^{3}) + x^{3} a$

Этап 1.3

Упростим

(- {(a + h)}^{3}) + x^{3} a

$(- {(a + h)}^{3}) + x^{3} a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

- (a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}) + x^{3} a

$- (a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}) + x^{3} a$

Этап 1.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

- a^{3} - (3 a^{2} h) - (3 a h^{2}) - h^{3} + x^{3} a

$- a^{3} - (3 a^{2} h) - (3 a h^{2}) - h^{3} + x^{3} a$

Этап 1.3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Умножим

3

$3$ на

- 1

$- 1$ .

- a^{3} - 3 (a^{2} h) - (3 a h^{2}) - h^{3} + x^{3} a

$- a^{3} - 3 (a^{2} h) - (3 a h^{2}) - h^{3} + x^{3} a$

Этап 1.3.1.3.2

Умножим

3

$3$ на

- 1

$- 1$ .

- a^{3} - 3 (a^{2} h) - 3 (a h^{2}) - h^{3} + x^{3} a

$- a^{3} - 3 (a^{2} h) - 3 (a h^{2}) - h^{3} + x^{3} a$

- a^{3} - 3 (a^{2} h) - 3 (a h^{2}) - h^{3} + x^{3} a

$- a^{3} - 3 (a^{2} h) - 3 (a h^{2}) - h^{3} + x^{3} a$

Этап 1.3.1.4

Избавимся от скобок.

- a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3} + x^{3} a

$- a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3} + x^{3} a$

- a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3} + x^{3} a

$- a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3} + x^{3} a$

Этап 1.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Изменим порядок

x^{3}

$x^{3}$ и

a

$a$ .

- a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3} + a x^{3}

$- a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3} + a x^{3}$

Этап 1.3.2.2

Перенесем

- h^{3}

$- h^{3}$ .

- a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} + a x^{3} - h^{3}

$- a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} + a x^{3} - h^{3}$

Этап 1.3.2.3

Перенесем

- 3 a h^{2}

$- 3 a h^{2}$ .

- a^{3} - 3 a^{2} h + a x^{3} - 3 a h^{2} - h^{3}

$- a^{3} - 3 a^{2} h + a x^{3} - 3 a h^{2} - h^{3}$

Этап 1.3.2.4

Перенесем

- 3 a^{2} h

$- 3 a^{2} h$ .

- a^{3} + a x^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}

$- a^{3} + a x^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}$

Этап 1.3.2.5

Изменим порядок

- a^{3}

$- a^{3}$ и

a x^{3}

$a x^{3}$ .

a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}

$a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}$

a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}

$a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}$

a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}

$a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}$

a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}

$a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}$

Этап 2

Перепишем

\frac{f (a + h) - f a}{h}

$\frac{f (a + h) - f a}{h}$ .

\frac{a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}}{h}

$\frac{a x^{3} - a^{3} - 3 a^{2} h - 3 a h^{2} - h^{3}}{h}$