Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{3} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{3} - 5 x}{x^{2} + 1}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 5}{x^{2} + 1}$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 5$ .

$\frac{x (x^{2} - 5)}{x^{2} + 1}$

Этап 6.2

Развернем $x (x^{2} - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 5}{x^{2} + 1}$

Этап 6.2.2

Изменим порядок $x$ и $- 5$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Этап 6.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Этап 6.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Этап 6.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x^{3} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Этап 6.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

Этап 6.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

Этап 6.5

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Этап 6.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 0 + x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Этап 6.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$6 x$

Этап 6.8

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$6 x$

$0$

Этап 6.9

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x + \frac{- 6 x}{x^{2} + 1}$

Этап 6.10

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = x$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = x$

Этап 8