Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 \cot (x - \frac{π}{4})$

Этап 1

Вертикальные асимптоты функции $y = \cot (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, π)$ для $y = \cot (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = 2 \cot (x - \frac{π}{4})$ . Положив аргумент котангенса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \cot (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = 2 \cot (x - \frac{π}{4})$ .

$x - \frac{π}{4} = 0$

Этап 2

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{π}{4}$

Этап 3

Приравняем аргумент $x - \frac{π}{4}$ функции котангенса к $π$ .

$x - \frac{π}{4} = π$

Этап 4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 4.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 4.3

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 4.5.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 5

Основной период $y = 2 \cot (x - \frac{π}{4})$ находится на промежутке $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$ , где $\frac{π}{4}$ и $\frac{5 π}{4}$ являются вертикальными асимптотами.

$(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$

Этап 6

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7

Вертикальные асимптоты $y = 2 \cot (x - \frac{π}{4})$ находятся в точках $\frac{π}{4}$ , $\frac{5 π}{4}$ и в каждой точке $x = \frac{π}{4} + π n$ , где $n$ ― целое число.

$x = \frac{π}{4} + π n$

Этап 8

Котангенс имеет только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π}{4} + π n$ , где $n$ — целое число

Этап 9