Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Этап 2.2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Этап 2.3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разложим $u^{2} - u - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 2.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Этап 2.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 2.3.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 2.3.4

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 2.3.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 2.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 2) (u + 1) = 0$ верно.

$u = 2, - 1$

Этап 2.4

Подставим $2$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Этап 2.5

Решим $2 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Этап 2.5.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Этап 2.5.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Этап 2.5.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Этап 2.5.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (2)$

Этап 2.6

Подставим $- 1$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$- 1 = e^{x}$

Этап 2.7

Решим $- 1 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = - 1$ .

$e^{x} = - 1$

Этап 2.7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Этап 2.7.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 1)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.7.4

Нет решения для $e^{x} = - 1$

Нет решения

Этап 2.8

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (2)$

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \geq \ln (2)$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ в виде ${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде ${(e^{x})}^{2}$ .

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Этап 4.3.1.2

Пусть $u = e^{x}$ . Подставим $u$ вместо $e^{x}$ для всех.

$u^{2} - u - 2 = 0$

Этап 4.3.1.3

Разложим $u^{2} - u - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

$- 2, 1$

Этап 4.3.1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Этап 4.3.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$

Этап 4.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

$e^{x} + 1 = 0$

Этап 4.3.3

Приравняем $e^{x} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Приравняем $e^{x} - 2$ к $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Этап 4.3.3.2

Решим $e^{x} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$e^{x} = 2$

Этап 4.3.3.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Этап 4.3.3.2.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Этап 4.3.3.2.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Этап 4.3.3.2.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (2)$

Этап 4.3.4

Приравняем $e^{x} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Приравняем $e^{x} + 1$ к $0$ .

$e^{x} + 1 = 0$

Этап 4.3.4.2

Решим $e^{x} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$e^{x} = - 1$

Этап 4.3.4.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Этап 4.3.4.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 1)$ не определено.

Неопределенные

Этап 4.3.4.2.4

Нет решения для $e^{x} = - 1$

Нет решения

Этап 4.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$ верно.

$x = \ln (2)$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(\ln (2), \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > \ln (2)}$

Этап 6