Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9$ в виде уравнения.

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\sqrt[3]{y}}{2} + 9$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sqrt[3]{y}}{2} + 9 = x$ .

$\frac{\sqrt[3]{y}}{2} + 9 = x$

Этап 3.2

Решим относительно $\sqrt[3]{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$\frac{\sqrt[3]{y}}{2} = x - 9$

Этап 3.2.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{\sqrt[3]{y}}{2} = 2 (x - 9)$

Этап 3.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt[3]{y}}{2} = 2 (x - 9)$

Этап 3.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt[3]{y} = 2 (x - 9)$

Этап 3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Упростим $2 (x - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt[3]{y} = 2 x + 2 \cdot - 9$

Этап 3.2.3.2.1.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$\sqrt[3]{y} = 2 x - 18$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(2 x - 18)}^{3}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 x - 18)}^{3}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x - 18)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x - 18)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(2 x - 18)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(2 x - 18)}^{3}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(2 x - 18)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = {(2 x)}^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 18 + 3 (2 x) {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$y = 2^{3} x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 18 + 3 (2 x) {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$y = 8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 18 + 3 (2 x) {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.3

Применим правило умножения к $2 x$ .

$y = 8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) \cdot - 18 + 3 (2 x) {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = 8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) \cdot - 18 + 3 (2 x) {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.5

Умножим $4$ на $3$ .

$y = 8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot - 18 + 3 (2 x) {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.6

Умножим $- 18$ на $12$ .

$y = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 3 (2 x) {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.7

Умножим $2$ на $3$ .

$y = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 6 x {(- 18)}^{2} + {(- 18)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.8

Возведем $- 18$ в степень $2$ .

$y = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 6 x \cdot 324 + {(- 18)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.9

Умножим $324$ на $6$ .

$y = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x + {(- 18)}^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.10

Возведем $- 18$ в степень $3$ .

$y = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832$ обратной к $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{3} - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.2.3.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.2.5

Упростим.

Этап 5.2.3.2.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + 3 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{2} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.4

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + 3 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{2^{2}}) \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{2^{2}}) \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4}) \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.7

Объединим $3$ и $\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} \cdot 9 + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.8

Умножим $\frac{3 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.8.1

Объединим $\frac{3 \sqrt[3]{x^{2}}}{4}$ и $9$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 9}{4} + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.8.2

Умножим $9$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} + 3 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.9

Объединим $3$ и $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{3 \sqrt[3]{x}}{2} \cdot 9^{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.10

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{3 \sqrt[3]{x}}{2} \cdot 81 + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.11

Умножим $\frac{3 \sqrt[3]{x}}{2} \cdot 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.11.1

Объединим $\frac{3 \sqrt[3]{x}}{2}$ и $81$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{3 \sqrt[3]{x} \cdot 81}{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.11.2

Умножим $81$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{243 \sqrt[3]{x}}{2} + 9^{3}) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.2.12

Возведем $9$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8} + \frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{243 \sqrt[3]{x}}{2} + 729) - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = 8 (\frac{x}{8}) + 8 (\frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4}) + 8 (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.2.3.4.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 8 (\frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4}) + 8 (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.4.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 4 (2) (\frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4}) + 8 (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 4 \cdot (2 (\frac{27 \sqrt[3]{x^{2}}}{4})) + 8 (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 2 (27 \sqrt[3]{x^{2}}) + 8 (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.4.3

Умножим $27$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 8 (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 2 (4) (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.4.4.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 2 \cdot (4 (\frac{243 \sqrt[3]{x}}{2})) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.4.4.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 4 (243 \sqrt[3]{x}) + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.4.5

Умножим $243$ на $4$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 8 \cdot 729 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.4.6

Умножим $8$ на $729$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2} + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.5

Перепишем ${(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)}^{2}$ в виде $(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 ((\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.6

Развернем $(\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot 9 + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9)) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 5.2.3.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ на $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot 9 + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.7.1.1.2

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

Этап 5.2.3.7.1.1.3

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

Этап 5.2.3.7.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot 9 + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.7.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot 9 + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.7.1.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot 9 + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.7.1.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt[3]{x}}{2} \cdot 9 + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.7.1.3

Объединим $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ и $9$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{\sqrt[3]{x} \cdot 9}{2} + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.7.1.4

Перенесем $9$ влево от $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{9 \cdot \sqrt[3]{x}}{2} + 9 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.7.1.5

Объединим $9$ и $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{9 \sqrt[3]{x}}{2} + \frac{9 \sqrt[3]{x}}{2} + 9 \cdot 9) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.7.1.6

Умножим $9$ на $9$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + \frac{9 \sqrt[3]{x}}{2} + \frac{9 \sqrt[3]{x}}{2} + 81) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.7.2

Добавим $\frac{9 \sqrt[3]{x}}{2}$ и $\frac{9 \sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + 2 (\frac{9 \sqrt[3]{x}}{2}) + 81) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + 2 (\frac{9 \sqrt[3]{x}}{2}) + 81) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.8.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + 9 \sqrt[3]{x} + 81) + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 216 \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4} - 216 (9 \sqrt[3]{x}) - 216 \cdot 81 + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.10.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.10.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 216$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 + 4 (- 54) (\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4}) - 216 (9 \sqrt[3]{x}) - 216 \cdot 81 + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.10.1.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 + 4 \cdot (- 54 \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{4}) - 216 (9 \sqrt[3]{x}) - 216 \cdot 81 + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.10.1.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 (9 \sqrt[3]{x}) - 216 \cdot 81 + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.10.2

Умножим $9$ на $- 216$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 216 \cdot 81 + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.10.3

Умножим $- 216$ на $81$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) - 5832$

Этап 5.2.3.11

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 1944 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 1944 \cdot 9 - 5832$

Этап 5.2.3.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $1944$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 2 (972) (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 1944 \cdot 9 - 5832$

Этап 5.2.3.12.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 2 \cdot (972 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2})) + 1944 \cdot 9 - 5832$

Этап 5.2.3.12.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 972 \sqrt[3]{x} + 1944 \cdot 9 - 5832$

Этап 5.2.3.13

Умножим $1944$ на $9$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 972 \sqrt[3]{x} + 17496 - 5832$

Этап 5.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим противоположные члены в $x + 54 \sqrt[3]{x^{2}} + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 54 \sqrt[3]{x^{2}} - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 972 \sqrt[3]{x} + 17496 - 5832$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Вычтем $54 \sqrt[3]{x^{2}}$ из $54 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 0 + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 972 \sqrt[3]{x} + 17496 - 5832$

Этап 5.2.4.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 1944 \sqrt[3]{x} - 17496 + 972 \sqrt[3]{x} + 17496 - 5832$

Этап 5.2.4.1.3

Добавим $- 17496$ и $17496$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 1944 \sqrt[3]{x} + 0 + 972 \sqrt[3]{x} - 5832$

Этап 5.2.4.1.4

Добавим $x + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 1944 \sqrt[3]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 972 \sqrt[3]{x} + 5832 - 1944 \sqrt[3]{x} + 972 \sqrt[3]{x} - 5832$

Этап 5.2.4.1.5

Вычтем $5832$ из $5832$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 972 \sqrt[3]{x} + 0 - 1944 \sqrt[3]{x} + 972 \sqrt[3]{x}$

Этап 5.2.4.1.6

Добавим $x + 972 \sqrt[3]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 972 \sqrt[3]{x} - 1944 \sqrt[3]{x} + 972 \sqrt[3]{x}$

Этап 5.2.4.2

Вычтем $1944 \sqrt[3]{x}$ из $972 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x - 972 \sqrt[3]{x} + 972 \sqrt[3]{x}$

Этап 5.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x - 972 \sqrt[3]{x} + 972 \sqrt[3]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Добавим $- 972 \sqrt[3]{x}$ и $972 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x + 0$

Этап 5.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832}}{2} + 9$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x^{3}$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 (x^{3}) - 216 x^{2} + 1944 x - 5832}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.1.2

Вынесем множитель $8$ из $- 216 x^{2}$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 (x^{3}) + 8 (- 27 x^{2}) + 1944 x - 5832}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.1.3

Вынесем множитель $8$ из $1944 x$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 (x^{3}) + 8 (- 27 x^{2}) + 8 (243 x) - 5832}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.1.4

Вынесем множитель $8$ из $- 5832$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 8 (- 27 x^{2}) + 8 (243 x) + 8 \cdot - 729}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.1.5

Вынесем множитель $8$ из $8 x^{3} + 8 (- 27 x^{2})$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 (x^{3} - 27 x^{2}) + 8 (243 x) + 8 \cdot - 729}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.1.6

Вынесем множитель $8$ из $8 (x^{3} - 27 x^{2}) + 8 (243 x)$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x) + 8 \cdot - 729}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.1.7

Вынесем множитель $8$ из $8 (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x) + 8 \cdot - 729$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{8 (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем $8 (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ в виде $2^{3} (x^{3} + {(- 3)}^{3} x^{2} + 243 x - 729)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{2^{3} (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.2.2

Перепишем $- 27$ в виде ${(- 3)}^{3}$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{\sqrt[3]{2^{3} (x^{3} + {(- 3)}^{3} x^{2} + 243 x - 729)}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{x^{3} + {(- 3)}^{3} x^{2} + 243 x - 729}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.4

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.5

Перепишем $x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.1

Разложим $x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 729, \pm 3, \pm 243, \pm 9, \pm 81, \pm 27$

$q = \pm 1$

Этап 5.3.3.1.5.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 729, \pm 3, \pm 243, \pm 9, \pm 81, \pm 27$

Этап 5.3.3.1.5.1.3

Подставим $9$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $9$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.1.3.1

Подставим $9$ в многочлен.

$9^{3} - 27 \cdot 9^{2} + 243 \cdot 9 - 729$

Этап 5.3.3.1.5.1.3.2

Возведем $9$ в степень $3$ .

$729 - 27 \cdot 9^{2} + 243 \cdot 9 - 729$

Этап 5.3.3.1.5.1.3.3

Возведем $9$ в степень $2$ .

$729 - 27 \cdot 81 + 243 \cdot 9 - 729$

Этап 5.3.3.1.5.1.3.4

Умножим $- 27$ на $81$ .

$729 - 2187 + 243 \cdot 9 - 729$

Этап 5.3.3.1.5.1.3.5

Вычтем $2187$ из $729$ .

$- 1458 + 243 \cdot 9 - 729$

Этап 5.3.3.1.5.1.3.6

Умножим $243$ на $9$ .

$- 1458 + 2187 - 729$

Этап 5.3.3.1.5.1.3.7

Добавим $- 1458$ и $2187$ .

$729 - 729$

Этап 5.3.3.1.5.1.3.8

Вычтем $729$ из $729$ .

$0$

Этап 5.3.3.1.5.1.4

Поскольку $9$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 9$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729}{x - 9}$

Этап 5.3.3.1.5.1.5

Разделим $x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ на $x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$9$

$x^{3}$

$27 x^{2}$

$243 x$

$729$

Этап 5.3.3.1.5.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$

Этап 5.3.3.1.5.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			+	$x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Этап 5.3.3.1.5.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 9 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$

Этап 5.3.3.1.5.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$

Этап 5.3.3.1.5.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$

Этап 5.3.3.1.5.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 18 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$18 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$

Этап 5.3.3.1.5.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$18 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					-	$18 x^{2}$	+	$162 x$

Этап 5.3.3.1.5.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 18 x^{2} + 162 x$ .

				$x^{2}$	-	$18 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$

Этап 5.3.3.1.5.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$18 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$

Этап 5.3.3.1.5.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$18 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$	-	$729$

Этап 5.3.3.1.5.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $81 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$18 x$	+	$81$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$	-	$729$

Этап 5.3.3.1.5.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$18 x$	+	$81$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$	-	$729$
							+	$81 x$	-	$729$

Этап 5.3.3.1.5.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $81 x - 729$ .

				$x^{2}$	-	$18 x$	+	$81$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$	-	$729$
							-	$81 x$	+	$729$

Этап 5.3.3.1.5.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$18 x$	+	$81$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$243 x$	-	$729$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	+	$243 x$
					+	$18 x^{2}$	-	$162 x$
							+	$81 x$	-	$729$
							-	$81 x$	+	$729$
										$0$

Этап 5.3.3.1.5.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 18 x + 81$

Этап 5.3.3.1.5.1.6

Запишем $x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ в виде набора множителей.

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{(x - 9) (x^{2} - 18 x + 81)}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.5.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.2.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{(x - 9) (x^{2} - 18 x + 9^{2})}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.5.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Этап 5.3.3.1.5.2.3

Перепишем многочлен.

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{(x - 9) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2})}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.5.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 9$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{(x - 9) {(x - 9)}^{2}}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.5.3

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.3.1

Возведем $x - 9$ в степень $1$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{(x - 9) {(x - 9)}^{2}}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.5.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{{(x - 9)}^{1 + 2}}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.5.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 \sqrt[3]{{(x - 9)}^{3}}}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 (x - 9)}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 x + 2 \cdot - 9}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.8

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 x - 18}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.9

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.9.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 (x) - 18}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.9.2

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 x + 2 \cdot - 9}{2} + 9$

Этап 5.3.3.1.9.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot - 9$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 (x - 9)}{2} + 9$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = \frac{2 (x - 9)}{2} + 9$

Этап 5.3.3.2.2

Разделим $x - 9$ на $1$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = x - 9 + 9$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 9 + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832$ — обратная к $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + 9$ .

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 216 x^{2} + 1944 x - 5832$