Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$ не определено.

$x = 2$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 4$

$m = 3$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перепишем $- x^{3}$ в виде ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 8}$

Этап 5.1.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 2^{3}}$

Этап 5.1.1.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = - x$ и $b = 2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Этап 5.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.4.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Этап 5.1.1.4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (1 x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Этап 5.1.1.4.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Этап 5.1.1.4.4

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.4.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 1 x \cdot 2 + 2^{2})}$

Этап 5.1.1.4.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

Этап 5.1.1.4.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

Этап 5.1.1.4.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.1.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.1.2.2

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) - 1 (- 2)) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.1.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.1.2.4

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.4.1

Перепишем $- (x - 2)$ в виде $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- 1 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.1.2.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.2

Развернем $- (3 x^{4} - 2 x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим знак $3 x^{4} - 2 x + 1$ на противоположный.

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x + 1)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.2.4

Избавимся от скобок.

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.2.5

Избавимся от скобок.

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.2.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.2.7

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.3

Развернем $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x + 4) - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Этап 5.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x) - 2 \cdot 4}$

Этап 5.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Этап 5.3.6

Избавимся от скобок.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Этап 5.3.7

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Этап 5.3.8

Изменим порядок $x$ и $4$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Этап 5.3.9

Избавимся от скобок.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Этап 5.3.10

Умножим $2$ на $x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Этап 5.3.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Этап 5.3.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Этап 5.3.13

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Этап 5.3.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Этап 5.3.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Этап 5.3.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{1 + 1} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Этап 5.3.17

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Этап 5.3.18

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 4}$

Этап 5.3.19

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8}$

Этап 5.3.20

Перенесем $4 x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 8}$

Этап 5.3.21

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 + 4 x - 4 x - 8}$

Этап 5.3.22

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 4 x - 4 x - 8}$

Этап 5.3.23

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 - 8}$

Этап 5.3.24

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} - 8}$

Этап 5.4

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 5.5

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 5.6

Умножим новое частное на делитель.

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$3 x^{4}$

$0$

$24 x$

Этап 5.7

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{4} + 0 + 0 + 24 x$ .

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$

Этап 5.8

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$

Этап 5.9

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$	-	$1$

Этап 5.10

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- 3 x + \frac{- 22 x - 1}{x^{3} - 8}$

Этап 5.11

Разобьем решение на многочлен и остаток.

$- 3 x + \frac{22 x + 1}{- x^{3} + 8}$

Этап 5.12

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - 3 x$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 2$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - 3 x$

Этап 7