Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

${(2 x)}^{2} - 12 x + 9 = 0$

Этап 2.2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

${(2 x)}^{2} - 12 x + 3^{2} = 0$

Этап 2.2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$12 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 3$

Этап 2.2.4

Перепишем многочлен.

${(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Этап 2.2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 2 x$ и $b = 3$ .

${(2 x - 3)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 2.4.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Этап 2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.6.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$4 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9 \geq 0$

Этап 2.6.1.3

Левая часть $9$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.6.2

Проверим значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.6.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$4 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 9 \geq 0$

Этап 2.6.2.3

Левая часть $25$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.6.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{3}{2}$ Истина

$x > \frac{3}{2}$ Истина

$x < \frac{3}{2}$ Истина

$x > \frac{3}{2}$ Истина

Этап 2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq \frac{3}{2}$ или $x \geq \frac{3}{2}$

Этап 2.8

Объединим интервалы.

Все вещественные числа

Этап 3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4