Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} - 9$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{3} - 9$ в виде уравнения.

$y = x^{3} - 9$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y^{3} - 9$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y^{3} - 9 = x$ .

$y^{3} - 9 = x$

Этап 3.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$y^{3} = x + 9$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{x + 9}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 9}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 9}$ обратной к $f (x) = x^{3} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (x^{3} - 9)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{3} - 9) = \sqrt[3]{(x^{3} - 9) + 9}$

Этап 5.2.3

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f^{- 1} (x^{3} - 9) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Этап 5.2.4

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} (x^{3} - 9) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 5.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (x^{3} - 9) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[3]{x + 9})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[3]{x + 9}) = {(\sqrt[3]{x + 9})}^{3} - 9$

Этап 5.3.3

Перепишем ${\sqrt[3]{x + 9}}^{3}$ в виде $x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 9}$ в виде ${(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x + 9}) = {({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 9$

Этап 5.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x + 9}) = {(x + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 9$

Этап 5.3.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\sqrt[3]{x + 9}) = {(x + 9)}^{\frac{3}{3}} - 9$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[3]{x + 9}) = {(x + 9)}^{\frac{3}{3}} - 9$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[3]{x + 9}) = (x + 9) - 9$

Этап 5.3.3.5

Упростим.

$f (\sqrt[3]{x + 9}) = x + 9 - 9$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 9 - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $9$ из $9$ .

$f (\sqrt[3]{x + 9}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\sqrt[3]{x + 9}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 9}$ — обратная к $f (x) = x^{3} - 9$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 9}$