Основы мат. анализа Примеры

Given that $f (x) = x^{2} + x$ and $g (x) = 3 x + 1$ ; find the value of $f (g (4))$

Этап 1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (g (x))$

Этап 2

Найдем значение $f (3 x + 1)$ , подставив значение $g$ в $f$ .

$f (3 x + 1) = {(3 x + 1)}^{2} + 3 x + 1$

Этап 3

Избавимся от скобок.

$f (3 x + 1) = {(3 x + 1)}^{2} + 3 x + 1$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(3 x + 1)}^{2}$ в виде $(3 x + 1) (3 x + 1)$ .

$f (3 x + 1) = (3 x + 1) (3 x + 1) + 3 x + 1$

Этап 4.2

Развернем $(3 x + 1) (3 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (3 x + 1) = 3 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1) + 3 x + 1$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (3 x + 1) = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1) + 3 x + 1$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (3 x + 1) = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (3 x + 1) = 3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

Этап 4.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f (3 x + 1) = 3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (3 x + 1) = 3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

Этап 4.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

Этап 4.3.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 3 x + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

Этап 4.3.1.5

Умножим $3 x$ на $1$ .

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

Этап 4.3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 + 3 x + 1$

Этап 4.3.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 6 x + 1 + 3 x + 1$

Этап 5

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $6 x$ и $3 x$ .

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 9 x + 1 + 1$

Этап 5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 9 x + 2$

Этап 6

Найдем значение результирующей функции, заменив $x$ на $4$ в функции.

$9 {(4)}^{2} + 9 (4) + 2$

Этап 7

Упростим найденную функцию.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$9 \cdot 16 + 9 (4) + 2$

Этап 7.1.2

Умножим $9$ на $16$ .

$144 + 9 (4) + 2$

Этап 7.1.3

Умножим $9$ на $4$ .

$144 + 36 + 2$

Этап 7.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $144$ и $36$ .

$180 + 2$

Этап 7.2.2

Добавим $180$ и $2$ .

$182$