Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = \sqrt{5 - \sqrt{2 x - 1}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 x - 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 x - 1 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$2 x \geq 1$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 x \geq 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 x \geq 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{5 - \sqrt{2 x - 1}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$5 - \sqrt{2 x - 1} \geq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$- \sqrt{2 x - 1} \geq - 5$

Этап 4.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(- \sqrt{2 x - 1})}^{2} \geq {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x - 1}$ в виде ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим ${(- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x - 1)}^{1} \geq {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.5

Упростим.

$2 x - 1 \geq {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$2 x - 1 \geq 25$

Этап 4.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$2 x \geq 25 + 1$

Этап 4.4.1.2

Добавим $25$ и $1$ .

$2 x \geq 26$

Этап 4.4.2

Разделим каждый член $2 x \geq 26$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разделим каждый член $2 x \geq 26$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{26}{2}$

Этап 4.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{26}{2}$

Этап 4.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{26}{2}$

Этап 4.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.1

Разделим $26$ на $2$ .

$x \geq 13$

Этап 4.5

Найдем область определения $5 - \sqrt{2 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

$2 x - 1 \geq 0$

Этап 4.5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$2 x \geq 1$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $2 x \geq 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x \geq 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Этап 4.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Этап 4.5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 4.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 13$

$x > 13$

Этап 4.7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.7.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$5 - \sqrt{2 (0) - 1} \geq 0$

Этап 4.7.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.7.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 13$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 13$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 4.7.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$5 - \sqrt{2 (3) - 1} \geq 0$

Этап 4.7.2.3

Левая часть $2.76393202$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.7.3

Проверим значение на интервале $x > 13$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 13$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 16$

Этап 4.7.3.2

Заменим $x$ на $16$ в исходном неравенстве.

$5 - \sqrt{2 (16) - 1} \geq 0$

Этап 4.7.3.3

Левая часть $- 0.56776436$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 13$ Истина

$x > 13$ Ложь

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 13$ Истина

$x > 13$ Ложь

Этап 4.8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{2} \leq x \leq 13$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[\frac{1}{2}, 13]$

Обозначение построения множества:

${x | \frac{1}{2} \leq x \leq 13}$

Этап 6