Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ в виде уравнения.

$y = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(y + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(y + 9)}^{\frac{1}{2}} = x$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{2}} = x$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${({(y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 9)}^{1} = x^{2}$

Этап 3.3.1.2

Упростим.

$y + 9 = x^{2}$

Этап 3.4

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$y = x^{2} - 9$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$ обратной к $f (x) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) = {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9$

Этап 5.2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) = (x + 9) - 9$

Этап 5.2.3.2

Упростим.

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) = x + 9 - 9$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 9 - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $9$ из $9$ .

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x^{2} - 9)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{2} - 9) = {((x^{2} - 9) + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $(x^{2} - 9) + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f (x^{2} - 9) = {(x^{2} + 0)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$f (x^{2} - 9) = {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.3.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{2} - 9) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 5.3.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x^{2} - 9) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 5.3.4.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x^{2} - 9) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$ — обратная к $f (x) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 9$